Métodos de Cálculo - MDT25

26.3 Métodos de Cálculo

Mínimos Cuadrados

Este método consiste en el planteamiento de una serie de ecuaciones de observación a partir de los datos de lecturas, y su posterior ajuste mediante el método de los mínimos cuadrados. Consultar el apartado Mínimos Cuadrados para información más detallada.

Cada lectura entre estaciones de la poligonal puede generar varias ecuaciones, dependiendo de sus datos. Si se ha seleccionado el ajuste planimétrico, se crea una ecuación de distancia (siempre que ésta no sea nula) y una de acimut (siempre que el ángulo horizontal no sea nulo). Si el ajuste altimétrico está activado, se crea una ecuación vertical o de desnivel (siempre que la distancia y el ángulo vertical no sean nulos). Por último, para todas las bases intermedias se crea una ecuación angular, que ayuda a mejorar la precisión del sistema.

Cada ecuación implica unos coeficientes que dependen de los valores concretos de las observaciones, y se asignan a la matriz de coeficientes del sistema. Igualmente, cada ecuación tiene un término independiente, que depende del residuo o diferencia entre el valor observado y calculado. Estos valores se almacenan en un vector de términos independientes.

Además, con objeto de ponderar el impacto de cada observación en el sistema, se crea una matriz de pesos. Cada observación tiene un peso que depende de la desviación estándar, o error a priori de cada observación. Estos a su vez dependen de las características del equipo empleado, que se definen en la configuración.

La ecuación matricial es:

donde:

X =Vector de incrementos de coordenadas

A = Matriz de coeficientes

P = Matriz de pesos

K = Vector de términos independientes

Una vez elaboradas todas estas matrices, comienza el proceso de cálculo que calcula los incrementos de coordenadas de las estaciones móviles, hasta que el sistema converge, y las coordenadas pasan a ser definitivas.

Es importante establecer correctamente los valores de la configuración para la convergencia y el número máximo de iteraciones. Consultar el Manual de Personalización para más detalles.

Proporcional a la Distancia

Si se elige este método, el programa calcula la longitud total de la poligonal, sumando las distancias de todas las lecturas entre las estaciones que intervienen. Además, se determina el error de cierre mediante la distancia entre la posición teórica de la última estación y la posición actual.

El ajuste consiste en la modificación de las coordenadas de las estaciones móviles intermedias de forma proporcional a la longitud de su tramo con respecto a la longitud total de la poligonal.

La fórmula general es:

donde:

xi = Coordenadas originales de la estación i (la primera es 0)

xi\' = Coordenadas corregidas de la estación i

Ex = Error global de la poligonal en X

lj = Longitud del lado j

L = Longitud total de la poligonal

Se aplica una fórmula análoga para Y y Z.

Proporcional a los Incrementos de Coordenadas

En este método se calculan también la longitud total de la poligonal y el error de cierre, pero la modificación de las coordenadas de las estaciones móviles se realiza proporcionalmente al error en X,Y,Z encontrado en cada estación con respecto al error total hallado en la poligonal.

La fórmula general es:

donde:

xi = Coordenadas originales de la estación i (la primera es 0)

xi\' = Coordenadas corregidas de la estación i

Ex = Error global de la poligonal en X

Se aplica una fórmula análoga para Y y Z.

Giro y Homotecia

Este método consiste en realizar una transformación de Helmert con los puntos inicial y final de la poligonal, y aplicar esta transformación a cada una de las coordenadas intermedias.

Lás fórmulas aplicadas son:

donde:

xi, yi = Coordenadas originales de la estación i (la primera es 0)

xi\' yi\' = Coordenadas corregidas de la estación i

a,b,c,d = Parámetros de la transformación

Las coordenadas Z de las estaciones no se ven afectadas. Como puede deducirse, este método solo puede aplicarse a poligonales abiertas.

Regla de Crandall

Este método se emplea cuando las medidas angulares tienen mayor precisión que las medidas de distancia. Todo el error angular se distribuye a lo largo de la poligonal y las distancias son recalculadas de forma tal que la suma de los cuadrados de sus modificaciones sea mínima.